Aufgaben zur Nullstellenform

Du hast die Funktion $f (x) = 5 \cdot x^{2} - 10 \cdot x - 40$ in der Normalform. Wie sieht die Nullstellenform dieser Funktion aus?

$f (x) = 5 \cdot (x - 4) \cdot (x + 2)$
$f (x) = 5 \cdot (x - 1)^{2} - 45$
$f (x) = 5 \cdot (x + 4) \cdot (x - 2)$
$f (x) = 8 \cdot (x - 4) \cdot (x + 2)$
$f (x) = 5 \cdot (x - 10) \cdot (x - 40)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform

Die Nullstellenform gibt die Nullstellen einer Parabel an und hat die Form:

f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

mit $x_{1}$ , $x_{2}$ Nullstellen und $a$ der Öffnungsfaktor.

Da $f$ in der Normalform ist, können wir den Öffnungsfaktor direkt ablesen mit $a = 5$ .

Also ist der nächste Schritt, die Nullstellen von $f$ zu bestimmen. Die Nullstellen bekommt man durch das Gleichsetzen von $f$ und $0$ .

\begin{array}{clc} f (x) & = & 0 \\ 5 \cdot x^{2} - 10 \cdot x - 40 & = & 0 \end{array}

Jetzt wendest du die Mitternachtsformel an, um die Nullstellen zu bestimmen. Damit erhältst du:

x_{1 / 2} = \frac{10 \pm \sqrt{(- 10)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 5} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 800}}{10} = \frac{10 \pm \sqrt{900}}{10} = \frac{10 \pm 30}{10} = 1 \pm 3

Die Funktion $f$ hat also Nullstellen bei $x_{1} = 4$ und $x_{2} = - 2$ .

Jetzt kannst du die Nullstellenform aufstellen und du bekommst:

f (x) = 5 \cdot (x - 4) \cdot (x + 2)

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